Klikk her for
utskriftsvennlig versjon
Klikk her for
utskriftsvennlig versjon
|
-
M A S T E R M I
N D - Matematisk
analyse av spillet Master Mind.
Matematisk
analyse av spillet Master Mind. Dette er i utgangspunktet et spill som rager høyt over vår evne til sannsynlighets regning. Da vi allikevel valgte å analysere spillet kommer det av at det vil for oss virke motiverende når oppgaven er vanskelig. Slik lærer man også bedre det grunnleggende. Når det gjelder det å analysere Master Mind, så er det en veldig omfattende oppgave. Den er såpass omfattende at det til og med er utgitt bøker om emnet: Donald
E. Knuth.
The Computer as Master Mind. Kenji
Koyama, Tony W. Lai.
An optimal Mastermind Strategy. Derfor vil denne analysen på langt nær være en fullstendig analyse av spillet, men mer en morsom snusing på hva dette kompliserte og logiske spillet har å tlby når det gjelder sannsynlighetsregning. Vi har tatt for oss det vanlige Master Mind-spillet med 6 forskjellige farger og 4 hull. Mål: Regne ut hvor sannsynlig det er å få alle fargene riktig på første forsøk: Kombinatorikken: 4 pinner skal legges ned i 4 hull. De kan være av samme farge eller de kan ha forskjellige farger. Vi har 6 farger og velge mellom. De kan legges i hvilken rekkefølge som helst i de fire hullene. Utregningen for antall kombinasjoner de kan legges i blir 6 · 6 · 6 · 6 = 64 = 1296 kombinasjons muligheter
Sannsynlighet for å få alle riktig på første forsøk:
P =
I Master Mind kan du spille med muligheten for å ha åpne hull da blir kombinatorikken: 74 = 2401 kombinasjoner Sannsynlighet:
I Master Mind er det slik at man markerer med en hvit liten pinne dersom man har en farge rett, men på galt sted og svart dersom fargen er rett og satt på riktig sted. Men du får ikke vite hvilken farge og hvilket sted den riktige pinnen er satt. Her kommer logikk inn og vi må begrense mulighetene vi har ved å bruke logikk. Derfor vil vi bruke en metode som vi selv forstod etter å ha lest, bla fra denne siden http://www.maa.org/editorial/knot/Mastermind.html Mål: Regne
ut sannsynligheten for å få
en farge riktig dersom du legger 4 pinner med samme farge i alle 4 hull. Kombinatorikk:
Vi tenker oss at vi velger å sette pinner med farge rød ned i alle hullene. Da må vi finne antall kombinasjoner rød kan være med i, elller dvs antall kombinasjoner rød ikke kan være med i. For å regne ut dette må vi sette opp regnestykket
For å regne sannsynligheten for at det er en rød i kombinasjonen, setter vi opp formelen 1 – p (ingen røde.) Der ettallet referer til utvalget som er 100% dvs i dette tilfellet 1296. Da vi trekker bort alle de røde får vi fem farger igjen. Utregning
1.
Vi kaller denne for Utregning 1 for senere referanser.
Dersom vi nå går ut ifra at det selv med 51,7% sjanse ikke det er noen røde i denne kombinasjonen. Har vi i på andre rad enda større sjanse får å få 1. rett dersom vi setter en enkelt farge på ny ned i alle hullene for eksempel blå. Utregning
2: Utregningen
av sannsynlighet blir da:
59,04% sjanse for at den neste fargen vil forkomme i kombinasjonen på rad 2. Dernest blir utregningene pr. rad dersom fargen ikke åpenbarer seg Utregning 3:
Utregning
4:
Utregning
5:
Det kan bare være 16 kombinasjoner med to farger igjen på 4 hull og bare en av de 16 kan være uten denne fargen Utregning
6:
I denne modellen brukte man altså 6 rader for å få rett. La oss nå regne litt på hvordan vi gjennom denne metoden vil havne ut på en tilfeldig Valgt farge kombinasjon. Fargene i Master Mind-spillet er gul, rød, blå, grønn, svart og hvit. Fargekombinasjonen vi velger tilfeldig er valgt til å være fra venstre når vi sitter mot den opplagte kombinasjon: gul, blå, blå og grønn. Vi bruker metoden og velger første rad: Rød. Etter utregning 1 vet vi at her er sjansen 51,7% til å få rød Sjansen for at det er to røde som er riktig på denne første rad blir følgende: Kombinatorikk: Hvis
vi skal regne ut hvor stor sjanse det er for at vi får fargen rød på
to plasser av de 4 hullene, tenker vi at det er
rød
på det ene hullet,
hullet.
for at det ikke forekommer rød på det fjerde hullet. Vi har nå satt opp muligheten for å få rød på de to første hullene, og ikke rød på de 2 siste. Altså i en ordnet rekkefølge. Men rød kan forekomme i alle hullene derfor setter vi opp Utregning 7:
mulighet til å fore komme i. . Formelen 4 over 2 er altså det antall rekkefølger rød kan forkomme på de 4 hullene.
Du har altså 11 % sjanse for å få to røde på første rad dersom du følger min logikk. Sjansen for å få tre riktige er derimot minimal
Utregning
8:
Logikk Men som vi vet ut fra utgangsposisjonen, får vi vite at det ikke er noen riktige på denne raden Vi vet da ut fra utregning 2. at det er 59,05% sjanse for at vi finner en rett farge ved å legge ned en ny farge over de fire hullene vi har til rådighet. Vi legger ned grønn og får vite at grønn har en svart pinne for rett farge og rett plass. . Vi vet allikevel ikke i hvilke av de fire hullene grønn skal være. Derfor setter vi den grønne helt til venstre mens vi legger opp tre gule på de neste hullene. Vi har nå eliminert 2 farger rød og grønn, Vi vet at grønn er riktig, vi har tre hull igjen og fylle og bare 4 farger. Utregning 9: Utregningen for sannsynlighet for at gul finnes i denne kombinasjon Kombinatorikk: Vi har 4 farger igjen som skal fordeles på tre hull. Utregningen
for sannsynlighet at gul kan være en del av den kombinasjonen som er
igjen blir da:
Det er 57,9 % mulighet for at gul vil forekomme på de resterende tre plasser.
Logikk: I dette eksemplet treffer vi med gul og vi får vite at vi har to farger riktig men ingen riktig plassert. Dette var merkelig. Da er det jo logisk at den gule skal stå der den grønne står nå og vi plasserer den gule helt til venstre mens den grønne finner plass i hull nummer tre fra venstre. De to resterende hullene fyller vi med hvit. Vi har nå eliminert 3 farger, gul, rød og grønn og vi vet at det er 2 hull igjen. Sannsynligheten for at hvit skal forekomme blir ved samme utregning som gul, men nå med bare to hull og tre farger Utregning 10:
Logikk: Vi treffer ikke med hvit, men vi får vite at gul er riktig plassert, noe vi visste egentlig fra før, og vi får vite at grønn er feil plassert, dermed vet vi at grønn må være helt til høyre og de to siste fargene må være i midten. Det er bare 2 farger igjen Sjansen for å treffe med en av fargene er meget høy. Vi
regner:
Utregning 11:
kombinasjonen. Vi har nå brukt 5 rader og sjansen for å treffe riktig farge på den 6 raden er 100%. Vi har eliminert bort alle andre farger og kan med 100% sannsynlighet si at blå er den fargen som skal være i de to resterende hull. Vi har løst koden på 6 rader. Sannsynligheten for å finne riktige farger på seks rader med 4 hull og 6 farger vil altså være 100% . 1.Rad : En av seks farger fordelt på fire hull : Sannsynlighet for å få alle riktig: 0,07% 2.Rad : En av fem farger fordelt på fire hull : Sannsynlighet for å få alle riktig: 0,16% 3.Rad : En av fire farger fordelt på fire hull : Sannsynlighet for å få alle riktig: 0,39 % 4.Rad : En av tre farger fordelt på fire hull : Sannsynlighet for å få alle riktig: 1,20 % 5.Rad : En av to farger fordelt på fire hull : Sannsynlighet for å få alle riktig: 6,25 % : 6.Rad : En av en farge fordelt på fire hull : Sannsynlighet for å få alle riktig: 100% Har du alle fargene riktig er det bare et lite tidsspørsmål før du har alle riktige plasseringer i tilegg. Du vil også øke sjansene dine betraktelig med sunn logikk. Slik som er vist over. Jeg vil ta med noen utregninger på sannsynlighet ved andre metoder for å undersøke om det er andre metoder som kan være minst like gode. Dersom vi ser for oss at vi legger fire forskjellige farger på første rad vil sannsynligheten for at du har en rett farge være:
sjanse for at vi har to riktige farger Allerede her får vi peke pinn på at denne metoden er dårligere enn den første. Videre logisk sett, selv om det er mye større sjanse for å finne en riktig farge i første rad, så er det bare 25 % sjanse for at du vil ta med deg rett farge til neste trinn. Det er også mer forvirrende med flere farger. Metoden hvor du bruker kun to farger på første rad har kanskje flere fordeler igjen. Sannsynligheten for å få riktig farge på første forsøk er:
Sjansen for at begge fargene er riktig er 7, 4 % samme som hvis vi har lagt ut fire forskjellige farger. Forskjellen blir ved neste rad, Dersom en av fargene er riktig har man 50% sjanse til å trekke med seg riktig farge. Dersom man ikke tenker på dette men legger opp to nye farger er sannsynligheten for at det er en av disse fargene: Dersom ingen er riktig i første:
Sjansen for at begge fargene er riktig er:
Dette er nok en meget bra strategi, og for Tone den aller beste. Mens [nn] syntes sjansen for å bli forvirret over hva du har brukt og hvilken plassering den enkelte skal ha er mye større enn med den første logikken. Logikk: Dersom vi legger opp 3 farger med en farge dobbel for eksempel : grønn, gul, gul, blå får vi sannsynligheten:
Men
sjansen for å ta med seg den riktige fargen videre nedover er da bare
, altså kun 33 % Konklusjon: Vi gjorde oss tanker underveis om at dette kanskje ikke var så vanskelig allikevel. Men etter hvert som vi kom dypere og dypere inn i sannsynlighets beregningen og logikken forstod vi hvorfor flere hadde skrevet hele bøker om matematikken rundt dette spillet. Master Mind spillet ble hyppig brukt under hele denne prosessen for å bevise og motbevise teorier om logikk og sannsynlighet. Vi har funnet ut at i de aller fleste tilfeller kan man klare å løse spillet på 6 rader eller mindre. Men det skal godt gjøres å klare dette uten å bruke en viss form for systematisk logikk, enten ved bruk av å sette 1 farge i fire hull, flere rader etter hverandre eller to farger på 4 hull flere rader etter hverandre. Det er også viktig å ta med de fargene man får riktig på, videre i de neste radene man setter opp.. Vi vil si at denne oppgaven gjorde at vi tok et godt skritt lenger inn i forståelsen av kombinatorikk og sannsynlighetsberegning. Helt til slutt vil vi gjerne få takket Kai Kristiansen for uvurderlig hjelp underveis. Tone Evant, A1C |
